凱勒流形（Kähler manifold）
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複流形帶有複結構 J；黎曼流形帶有度量 g 以量長度；辛流形帶有閉 2-形式 omega 以量相空間中的面積。凱勒流形是這三種結構同時棲身且彼此完美相容的稀有而美妙情形——度量、複結構與辛形式互相緊扣，使複幾何、黎曼幾何與辛幾何同時描述同一個對象。這三重巧合正是凱勒流形成為複幾何主角、並成為代數簇天然居所的原因。
精確地說，先在複流形上取一個埃爾米特度量：一個滿足 g(JX, JY) = g(X, Y) 的黎曼度量 g。由 g 與 J 構造基本 2-形式 omega(X, Y) = g(JX, Y)，稱為凱勒形式（一個 (1,1)-形式）。這個度量是凱勒的，當且僅當此形式為閉：d omega = 0。這一條微分方程等價於一整串條件，其中任一條都可取為定義：複結構 J 對列維-奇維塔聯絡是平行的；列維-奇維塔聯絡等於陳聯絡；局部上度量由單一實函數 K（凱勒位勢）透過 g_{i,j-bar} =（K 的二階混合導數）給出，即 omega = i partial partial-bar K。條件 d omega = 0 意味 omega 也是辛形式，所以凱勒流形同時是辛的。
緊凱勒流形享有一連串在一般情形無法取得的強大定理：霍奇分解（上同調按 (p,q) 型分裂）、霍奇對稱 h^{p,q} = h^{q,p}、強萊夫謝茨定理、partial partial-bar 引理，以及透過小平，在存在正線叢時的射影可嵌入性。每個光滑射影簇都是凱勒的（把射影空間的富比尼-施圖迪度量限制過來）。關鍵的誠實要點：並非每個複流形都是凱勒的。第一貝蒂數為奇數的緊複流形（霍普夫曲面、大多數非代數曲面）不可能是凱勒的，因為霍奇對稱會逼使 b_1 為偶數。是複的、甚至是辛的，都不會白白給你凱勒。
配以富比尼-施圖迪度量的複射影空間 CP^n 是凱勒流形的典範：在一張仿射圖卡中其凱勒形式為 omega = (i/2) partial partial-bar log(1 + |z|^2)，它是閉且正的。由於每個光滑射影簇都透過限制繼承這個度量，它們全都是凱勒的——這正是代數幾何與凱勒幾何如此大幅重疊的原因。
配富比尼-施圖迪度量的 CP^n 是凱勒的，因此每個光滑射影簇也是。
複並不蘊含凱勒。任何第一貝蒂數為奇數的緊複流形（例如霍普夫曲面）都不是凱勒的，因為緊凱勒流形上的霍奇對稱逼使 b_1 為偶。