強萊夫謝茨定理（hard Lefschetz theorem）
/ LEFF-shets /
在緊凱勒流形上，有一個自然運算：把上同調類楔上凱勒形式，使次數升 2。反覆施行，便以每步 2 的步幅向上走過上同調。強萊夫謝茨定理說這趟行走盡可能地對稱而僵硬：楔 k 次便在次數 n-k 的上同調與次數 n+k 的上同調之間建立完美的鏡像。這是一個深刻、非形式的約束，逼使緊凱勒流形的貝蒂數一路升至中間維數、隨後對稱地下降。
精確地說，設 M 是複維數為 n 的緊凱勒流形，L 是把上同調類 alpha 送到 [omega] 楔 alpha 的萊夫謝茨算子，其中 [omega] 是凱勒類。強萊夫謝茨定理陳述：對每個 k（由 0 到 n），迭代映射 L^k 從 H^{n-k}(M) 到 H^{n+k}(M) 是同構。立即可得兩個推論。第一，貝蒂數對中間維數呈單峰且對稱：b_0 <= b_2 <= ... 直到中間，且 b_{n-k} = b_{n+k}。第二，上同調有原始（萊夫謝茨）分解：每個類唯一地分解成若干 L^j 乘以原始類（被伴隨 Lambda 足夠多次作用後為零者）之和，這是在總上同調上的 sl(2) 表示論結構。
它為何重要：強萊夫謝茨是一個強的拓樸阻礙。貝蒂數不單峰對稱的緊凱勒流形根本不存在，這排除了大量辛或複流形容許任何凱勒度量的可能。其證明再次由凱勒恆等式經 L、Lambda 與計次算子所生成的 sl(2) 作用流出。一點提醒：名稱中的「強」是為了與較易的萊夫謝茨超平面定理（關於超平面截痕的上同調）區分；雖然陳述純屬拓樸，它的成立確實需要凱勒假設——它在緊複非凱勒流形上可能失效。
在 CP^2（複維數 2）上，貝蒂數為 b_0 = b_2 = b_4 = 1、b_1 = b_3 = 0。k=1 的強萊夫謝茨給出同構 L 從 H^1 到 H^3（兩者皆零，相符），並連同杯積結構逼使 b_0 = b_4、b_2 居中——即對稱的 1, 0, 1, 0, 1 輪廓，恰如定理所預測。
強萊夫謝茨逼使貝蒂數對中間對稱：CP^2 給出 1, 0, 1, 0, 1。
別把強萊夫謝茨（緊凱勒流形上同調上的同構 L^k）與萊夫謝茨超平面定理（比較簇與其超平面截痕）混淆。強萊夫謝茨確實需要凱勒假設，缺之則可能失效。