泰希米勒空間
/ TYKH-mool-er /
虧格 g ≥ 2 的閉曲面可賦予雙曲幾何，但與它的三維表親不同，它能以連續地多種真正不同的方式被賦予該幾何——這裡捏一個把手、那裡撐胖一個。泰希米勒空間是所有那些不同形狀的空間：每一點是曲面上的一個雙曲（等價地，一個複）結構，連同一個「標記」一起記錄，標記釘住曲面如何被標籤，以免我們僅因某個自對稱把兩形狀關聯起來就誤把它們當成同一個。
精確地說，對虧格 g 的閉可定向曲面 S，泰希米勒空間 T(S) 是配對 (X, f) 的集合，其中 X 為雙曲（或複）曲面，f: S -> X 為同胚（標記），對如下等價取商：當存在等距（或雙全純）h: X1 -> X2 使 h 在 f1 之後同痕於 f2 時，(X1, f1) ~ (X2, f2)。標記至關重要：它記住 S 的哪條迴圈變成 X 的哪條迴圈。泰希米勒證明 T(S) 同胚於開球；虧格 g ≥ 2 時實維數為 6g-6（複維數 3g-3），且在泰希米勒度量（量度兩個標記結構間最小擬共形畸變）下是完備度量空間。
泰希米勒空間是曲面上幾何結構的萬有形變空間——正是莫斯托剛性在維數 ≥3 所禁止的那種模空間。映射類群（S 的自同胚的同痕類）藉改變標記真不連續地作用於 T(S) 上；其商是模空間 M(S)，即無標記雙曲結構的空間（一個軌形，而非流形，因為某些曲面有對稱）。芬切爾-尼爾森的長度與扭轉等座標明確地把 T(S) 參數化，而韋伊-彼得森度量使它成為負曲率的（不完備）凱勒流形——曲面動力學、複分析與幾何相會的遊樂場。
對虧格 2 曲面，沿 3 條互不相交的簡單閉曲線切割，把它分解成兩條褲子。每條切割曲線貢獻一個長度參數（其同倫類中測地線的長度，任意正實數）與一個扭轉參數（重黏前旋轉多少，任意實數）。那是 3 個長度與 3 個扭轉：g=2 時 6 = 6g-6 個實座標，可自由選取，給出明確的同胚 T(S) ≅ (0,∞)^3 x R^3 ≅ R^6。
虧格 2 泰希米勒空間上的芬切爾-尼爾森座標：3 個長度與 3 個扭轉給出映到 R^6 的整體圖卡。
泰希米勒空間「不是」模空間——標記正是區分二者之物。T(S) 是光滑的球；模空間 M(S) = T(S) / MCG(S) 是其商，是個軌形，凡曲面有額外對稱處皆為奇異點。把二者混淆是此處最常見的單一錯誤。