映射類群
拿起一個曲面，用手把它重新排列而不撕裂——你可以扭一個把手、交換兩個洞、把它翻面。某些這樣的重排可以連續地滑回到「什麼都不做」（那些是「看不見的」）；其他則真正置換曲面的特徵、無法靠滑動撤銷。映射類群恰好收集真正不同的重排：曲面在連續形變下的對稱。它是曲面的離散對稱群，即使對一個兩洞曲面也龐大而精巧。
精確地說，對可定向曲面 S，映射類群 MCG(S)（也寫作 Mod(S)）是 S 的保定向自同胚的同痕類所成的群：取所有同胚 f: S -> S，並當其一可連續形變（同痕）為另一個時宣告二者相同。映射的合成給出群運算。德恩扭轉——沿一條簡單閉曲線切開，把一側旋轉整一圈，再重黏——生成整個群（德恩-利科里什定理）；其中有限多個即足夠。對虧格 g 的閉曲面，MCG 是有限表現的無窮群，具豐富的代數結構。
它的核心角色是動力學的：MCG(S) 藉改變標記真不連續地作用於泰希米勒空間 T(S)，而商 T(S) / MCG(S) 恰是模空間 M(S)。故研究曲面到「全部」對稱為止，便意味理解這個作用。尼爾森-瑟斯頓分類把每個映射類歸為週期、可約或擬阿諾索夫，而擬阿諾索夫者——以固定倍數 lambda > 1 拉伸一個葉狀結構並收縮另一個——是纖維化於圓上的雙曲三維流形之源，把曲面動力學直接繫於三維流形幾何。
在環面 T^2 上，映射類群恰為 SL(2, Z)：一個自同胚在同痕下由記錄它如何置換 pi_1(T^2) = Z^2 兩條基迴圈的整數矩陣決定，而保定向迫使行列式為 +1。沿一條基曲線的德恩扭轉是矩陣 [1, 1; 0, 1]；矩陣為 [2, 1; 1, 1] 的映射是擬阿諾索夫（它是阿諾索夫，拉伸因子為較大特徵值 (3 + sqrt 5)/2），其映射環是一個 Sol 幾何的三維流形。
環面的映射類群 = SL(2,Z)；一個擬阿諾索夫類有 Sol 映射環，把曲面動力學繫於三維幾何。
依慣例，映射類群是保「定向」同胚的同痕類所成的群；把保定向反轉者也納入則得「擴展」映射類群，MCG 是其指數 2 的子群。又，對曲面而言同胚的同痕與同倫一致，但這是定理而非定義。