威布尔分布

威布尔分布是当事物会老化时——即当一个部件、机器或生命随着年龄增长、其损坏概率发生变化时——用于建模“到故障为止时间”的灵活模型。指数分布假定故障率永不改变；威布尔分布放松了这一点，允许风险率随时间上升（磨损）、随时间下降（早期淘汰缺陷品），或保持平稳。这使它成为可靠性工程的支柱，也天然契合许多精算寿命问题。

它有一个形状参数（常写作 τ 或 k）和一个尺度参数 θ。形状参数是讲故事的人：若它等于 1，威布尔分布就是指数分布（恒定风险率）；若它大于 1，风险率随年龄上升（事物磨损，如老旧设备故障更快）；若它小于 1，风险率随之下降（早期死亡，即熬过早期不稳定阶段的幸存者变得更结实）。这单一旋钮逐段刻画出著名的故障率“浴盆曲线”。

精算师把威布尔分布用作生存模型和严重度模型。作为一种解析死亡律，它能表示高龄阶段上升的死亡力，与 Gompertz 和 Makeham 互为补充。作为严重度分布，它提供一条可以调得比指数更重或更轻的尾部，对理赔金额很有用。它对“变化的风险率”的诚实处理，恰恰是无记忆的指数分布所无法提供的——但这种灵活性意味着形状参数必须谨慎估计，因为它决定了你的模型究竟相信风险随年龄增长还是缩小。