伽玛分布

伽玛分布是一个灵活的、取正值的、右偏的分布族，是精算师处理“中等偏重的理赔金额和等待时间”的首选。想象的不是“到第一次事件为止的等待”，而是“到第三次或第五次为止的等待”——也就是若干个指数等待时间的总和。这个总和服从伽玛分布，通过调节它的形状，它可以呈现陡峭的早期尖峰、平缓的隆起，甚至近乎钟形。

它有两个参数，通常是形状 α（alpha）和尺度 θ（theta）。均值是 αθ，方差是 αθ^2。当形状 α 等于 1 时，伽玛分布退化为普通的指数分布；当 α 变大时，伽玛分布开始像正态曲线。把 α 个各自均值为 θ 的相互独立指数等待相加，就得到一个伽玛分布——这正是为什么它天然地建模“累积的时间”或“累积的严重度”。它始终位于正半轴，这与“永不为负”的理赔金额相吻合。

在实务中，伽玛分布是“偏斜但尾部并不极重”的理赔金额常用的严重度分布，也是许多用于定价的广义线性模型首选的响应分布。不过它的明星配角身份，是充当把泊松变成负二项的混合分布：让每个投保人的泊松理赔率按伽玛分布变化，恰好产生真实投资组合中所见的过度离散计数。然而，对于最极端的尾部——最大的巨灾损失——伽玛分布太轻，此时更宜采用帕累托分布或对数正态分布。