对数正态分布

对数正态分布描述的是这样一个取正值的量：它的对数服从正态分布。说白了：当许多微小的效应是相乘而非相加地叠加在一起时，你得到的就是它。加性的噪声堆叠成对称的钟形，而乘性的效应则堆叠成一条右偏的曲线，它在左侧紧贴零、在右侧延展出一条长长的尾巴——这正是如此多真实理赔金额、收入和股价的形状。

如果你取一个对数正态变量的自然对数，会得到一个具有某个均值 μ 和标准差 σ 的普通正态分布——这两个数就是对数正态分布的参数。由于这层指数联系，它的均值是 e^(μ + σ^2/2)，明显高于它的中位数 e^μ，二者之间的差距正是其偏度的标志。这个分布始终取正值，在一个不大的值处达到峰值，然后缓缓拖尾，所以它很容易产生偶尔出现的、正态分布会认为几乎不可能的极大结果。

对数正态分布是保险中使用最广泛的严重度分布之一：理赔金额，尤其是在责任险和财产险业务线上，常常是对数正态的，因为损失往往以乘性方式累积（蔓延的火灾、成本层层叠加的伤害）。它也是金融数学中资产价格和投资回报的标准模型，支撑着期权定价和变额年金保证的建模。它的右偏和比正态更肥的尾部，使它在捕捉“出现大额损失的概率”方面远比正态安全——尽管对于最极端的尾部，帕累托分布可以更重。