负二项分布

负二项分布是当理赔次数比泊松所能捕捉的更加分散时，精算师转而求助的计数分布。泊松坚持方差等于均值，但现实世界的理赔次数往往波动得多得多——有些投保人就是比别人风险更高。负二项分布优雅地允许方差超过均值，因而成为“过度离散计数”的标准模型。

它可以从两条路径得到，这也是它魅力的一部分。在经典意义上，它计的是“在重复的相互独立试验中、第 r 次成功之前的失败次数”。但精算师钟爱的版本来自“混合”：取一个其速率 λ 本身就随机、并按伽玛分布在各投保人之间变化的泊松分布，得到的计数就是负二项分布。这个“泊松-伽玛混合”刻画了“总体是高风险与低风险个体的混合”这一思想。它的均值是 rβ，方差是 rβ(1+β)，由于 β > 0，方差总是大于均值。

在一般保险中，负二项分布往往是更好的频率模型，恰恰因为它容许异质性：并非每个司机、每户家庭、每家企业都带有相同的潜在理赔率。它是与 Panjer 递推一起用来构建总损失分布的 (a,b,0) 类成员，其额外的灵活性通常能比泊松给出更现实——也更审慎——的“出现理赔沉重年份”的概率估计。