二项分布

二项分布计数的是：当你把同一个“是或否”试验重复固定次数时，能得到多少次成功。掷一枚均匀硬币 10 次：有几次正面？为 1000 条相同的生命承保：今年有几人死亡？每当你有固定次数的相互独立试验、每次成功概率都相同时，成功的次数就服从二项分布。

它有两个参数：n，试验次数；p，每次的成功概率。恰好得到 k 次成功的概率是 C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)，其中 C(n,k) 计的是“从 n 次试验中挑出哪 k 次成功”的方式数。它的均值是 np（平均而言，这个比例的试验会成功），方差是 np(1-p)。二项分布不过是 n 个相互独立的伯努利试验之和，这正是为什么它的均值和方差恰好是伯努利的 n 倍。

二项分布是“一个封闭的、相似且相互独立的风险群在单期内”的天然模型：一批保单中的死亡数、一个贷款池中的违约数、一组固定被保险人中的理赔数。精算师用它来求“理赔数超过某一水平的概率”，这又喂入资本与再保险决策。它的关键假设——固定的 n、恒定的 p、相互独立——同时也是它的局限：当 p 在各条生命之间变化，或在险人数本身就不确定时，你就要转而求助于泊松分布或负二项分布。