伯努利分布

伯努利分布是最简单不过的随机试验：一个只有两种结果的“是或否”事件。硬币落地是正面或反面；投保人今年要么理赔、要么不理赔；病人这一年要么存活、要么死亡。每当世界递给你一个一次性的“成功或失败”，你就有了一次伯努利试验，它是许多更复杂分布得以构筑的原子。

伯努利随机变量 X 以概率 p 取值 1（成功），以概率 1 - p 取值 0（失败）。仅此而已。它的均值就是 E[X] = p，方差是 Var(X) = p(1 - p)，在 p = 0.5 时最大（对一个五五开事件的不确定性最高），而当 p 趋近 0 或 1 时（几乎确定的结果几乎不带风险）则趋向于零。这个单一参数 p 既是成功概率，也是平均值。

在精算建模中，伯努利分布是任何单期“非此即彼”风险的天然模型。这一张保单会不会出险？这一条生命会不会在这一年内死亡？一年期死亡率 q_x 恰好就是一个伯努利“死亡”指示变量的成功概率。因为真实的投资组合包含许多这样相互独立的“是/否”试验，把它们相加就把伯努利变成了二项分布——这正是为什么伯努利分布是频率建模与整张生命表的根基。