精算概率论
泊松分布
/ PWAH-son /
泊松分布计数的是：在一段固定的时间或空间里，发生了多少次稀有而相互独立的事件——当每一次单独的机会都微乎其微、但机会的总数非常多时。一个月内有多少笔理赔报到保险公司？一小时内有多少通电话打进呼叫中心？一本厚书里溜进了多少个错字？当事件以稳定的平均速率冒出来、彼此又不相互协调时，它们的次数往往服从泊松分布。
它只有一个参数 λ（lambda），即该时段内预期发生的平均事件数。恰好发生 k 次事件的概率是 e^(-λ) · λ^k / k!。一个醒目又便利的特性是：它的均值与方差都等于 λ。所以如果你平均每天预期 3 笔理赔，方差也是 3，标准差约为 1.73。泊松分布是二项分布在“n 极大、p 极小、但 np = λ 保持适中”时的极限——许多条生命，每条出险概率都很小。
泊松分布是一般保险中理赔频率建模的主力。它是集合风险模型与复合泊松总损失模型中天然的计数分布，也是破产理论的核心。它“均值等于方差”的便利性质同时也是其主要弱点：真实的理赔次数往往比泊松所允许的更加多变（过度离散），而这正是负二项分布被发明出来要填补的缺口。
一个投资组合平均每周有 λ = 4 笔理赔。出现“零理赔”这种平静一周的概率是 e^(-4) ≈ 0.018，不到 2%。恰好 4 笔的概率是 e^(-4)·4^4/4! ≈ 0.195，是单一最可能的结果。
当 λ = 4 时，连“零理赔”都有实实在在（虽小）的概率——随机性会成团出现。
泊松分布强制方差等于均值；真实的理赔次数通常过度离散（方差大于均值），所以盲目使用泊松会低估波动性与所需资本。
又称
另见