矩生成函数
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矩生成函数是一个巧妙的单一函数，把一个分布的所有矩都打包进一个表达式里，随用随取。你不必一个接一个地、痛苦地做积分去算均值、方差、偏度等等，而是只构造一次矩生成函数，然后用一个简单的操作把每一个矩读出来。它就像是一个分布各阶矩的数学压缩包。
矩生成函数定义为 M(t) = E[e^(tX)]，即 e 的 t 乘 X 次幂的期望值，被当作辅助变量 t 的函数。它的魔力有两重。其一，在 t = 0 处求导便产生各阶矩：一阶导数给出 E[X]，二阶导数给出 E[X^2]，依此类推。其二，也更有用：矩生成函数唯一地确定一个分布——若两个随机变量的矩生成函数相同，它们的分布就相同。这使矩生成函数成为证明“独立随机变量之和长什么样”的首选工具，因为“和”的矩生成函数恰好是各个矩生成函数的乘积。
对精算师而言，矩生成函数是总损失模型背后的引擎。要求出总理赔的分布——理赔次数是随机的、每笔金额又是随机的——用矩生成函数（或与之密切相关的概率生成函数、特征函数）往往远比直接处理密度容易。矩生成函数也支撑着一些优雅的证明，比如“独立泊松之和仍是泊松”、“正态之和仍是正态”，这些结论让精算师能把多个风险组合起来，而无需从头把一切重新推导一遍。
如果 X 与 Y 是相互独立的理赔次数，矩生成函数分别为 M_X(t) 与 M_Y(t)，那么它们之和的矩生成函数就是乘积 M_X(t)·M_Y(t)。对两个独立泊松而言，这个乘积本身就是一个泊松的矩生成函数——由此证明合并后的次数仍服从泊松分布。
独立变量之和的矩生成函数，等于它们各自矩生成函数的乘积。
矩生成函数并不总是存在——像对数正态分布和许多帕累托分布这样的重尾分布没有矩生成函数，因为 E[e^(tX)] 是无穷大，所以精算师常退而使用始终存在的特征函数。