中心极限定理

中心极限定理是全部概率论中最令人惊讶、也最有用的事实之一：把大量相互独立的随机部件加起来或取平均，结果看上去就像一条正态钟形曲线——无论各个部件原本是什么形状。这些部件可以是偏斜的、块状的、离散的、丑陋的；可一旦数量足够多，它们的和就平滑成那条熟悉的对称钟形。这正是正态分布无处不在的原因。

确切地说，如果你把许多各自具有有限均值和方差的相互独立随机变量加起来，那么这个和（或它们的平均）的分布会随数量增长而趋近正态分布。和的均值是各个均值之和，和的方差是各个方差之和（在独立时）。所以尽管没有哪一张保单的损失是正态的，一个庞大业务组合的总损失却趋向正态，其均值和离散程度都可以通过简单相加算出。寥寥几项还不够；相互独立的部件堆得越多，近似越好；当部件非常偏斜时，收敛得更慢。

对精算师而言，中心极限定理是从纷乱的个体风险通往可处理的组合总额的桥梁。它为“把总理赔——许多小额损失之和——近似为正态”提供了依据，而这又支撑着实用的资本计算、二项与泊松的正态近似，以及许多置信区间和破产公式。但它的警告至关重要：它对分布中心的刻画远胜于对尾部的刻画，而且它需要有限方差和真正的独立性。对于重尾损失（类帕累托）或相关的巨灾风险，正态近似可能危险地低估恰恰是保险公司最需要算准的那些极端结果。