指数分布

指数分布建模的是“到下一次随机事件为止的等待时间”，前提是这些事件以稳定的平均速率到来。到下一笔理赔还要多久？到机器故障还要多久？如果事件以泊松方式发生——速率恒定、彼此独立——那么它们之间的时间间隔就服从指数分布。它是几何分布的连续孪生兄弟。

它只有一个速率参数 λ（lambda）；等价地，平均等待时间为 1/λ。它的密度呈指数式衰减：短等待最可能，长等待迅速变得越来越罕见，但永不至于不可能。它的决定性性质是无记忆性——它是唯一具有此性质的连续分布。一个已经运行了 10 小时的部件，其未来的故障前景与全新部件完全相同；过去不留任何痕迹。用数学表达：P(在已等待 s 的条件下还要等超过 s+t) = P(还要等超过 t)。

精算师把指数分布用作“到理赔/到故障为止的时间”的初始模型，以及理赔金额最简单的严重度分布。它的无记忆性对应于恒定的死亡力或恒定的风险率（hazard rate）——一个让数学整洁的工整假设。但同样这个性质在实务中往往是它的败笔：真实的寿命、机器和保单几乎总会老化，故障率随时间上升，而这是指数分布无法表示的。这恰恰是允许风险率变化的威布尔分布和伽玛分布存在的原因。