角柱與圓柱的體積

一個水族箱能裝多少水、一根柱子要灌多少混凝土、一個罐頭裝得下多少湯——這些問題問的是體積，也就是一個立體所占據的三維空間有多少，以立方單位計算。對任何角柱或圓柱而言，答案出奇地一致：把底一份份疊起來。

角柱是一個有兩個相同平行底、以平面側壁相連的立體（三角柱、長方體、六角柱）；圓柱是同樣的想法，只是底為圓。在所有情況下，體積都是 V = B · h，其中 B 是底的面積，h 是高（兩底之間的垂直距離）。把這個立體想成 B 那麼大的面積垂直向上掃過 h 的高度，或想成 h 層每層面積為 B 的薄片疊在一起。對圓柱而言 B = pi · r^2，所以 V = pi · r^2 · h；對長方體而言 B = l · w，所以 V = l · w · h。

高必須相對於底垂直度量，而不是沿著傾斜的邊。而美妙之處在於：即使角柱傾斜、使上底向旁邊偏移（斜角柱），體積仍然是 B · h，用同一個垂直高。卡瓦列利原理保證了這一點——把各層橫向滑動而不改變它們的面積，無法改變總體積。