表面積

如果你想把一個立體包裝起來、塗上油漆，或想知道一個水槽需要多少鐵皮，你問的就是它的表面積——一個三維物體外皮的總面積。它是面積，所以以平方單位計算，儘管物體本身是三維的。

可靠的求法是把立體展開成展開圖，再把平面各塊的面積加起來。一個長 l、寬 w、高 h 的長方體有六個矩形面，分成三對相同的，給出總表面積 2(lw + lh + wh)。圓柱給出 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h，圓錐給出 pi·r^2 + pi·r·L（其中 L 是斜高），球給出 4·pi·r^2。人們常把它拆成側面積（只算「側壁」，不含頂面和底面）和總表面積（側面積加上底面）。

要把表面積和體積牢牢分開：表面積是外皮（平方單位），體積是填充物（立方單位）。它們的縮放方式也不同——在縮放係數 k 下，表面積乘以 k^2，而體積乘以 k^3。這個不對稱，也就是平方立方定律，正是為什麼老鼠容易散熱、而鯨魚需要鯨脂，以及為什麼大型動物的腿按比例會更粗。