球的表面積與體積

球是與一個中心相距固定距離 r（半徑）的所有點所成的集合——一個完美的圓球。兩個數字描述它：包住它的外皮有多少（表面積），以及它填滿的空間有多少（體積）。阿基米德在兩千多年前就找到了這兩者，並且極為自豪，要求把這個結果刻在他的墓碑上。

表面積為 A = 4 · pi · r^2。一個漂亮的記法：球的表面積恰好等於它一個大圓面積的四倍（大圓的面積為 pi · r^2，是你能在球面上畫出的最大的圓，例如赤道）。體積為 V = (4/3) · pi · r^3。阿基米德的瑰寶在於：球恰好填滿了恰能包住它的最小圓柱（半徑 r、高 2r）的三分之二：那個圓柱的體積為 pi · r^2 · 2r = 2·pi·r^3，它的三分之二就是 (4/3)·pi·r^3。

由於體積隨 r^3 增長而表面積隨 r^2 增長，大球相對於其體積只有較少的表面——又是平方立方定律。一個常見的失誤是忘了表面積公式中的 4，或忘了體積公式中的 4/3；另一個是在該用半徑的地方用了直徑，使體積膨脹八倍。這兩個公式都能用卡瓦列利原理乾淨地導出，方法是把半球與一個挖掉圓錐的圓柱相比較。