圓的面積

一個 12 吋的披薩上有多少披薩？一個灑水器能澆多少地？這些問題問的是圓所圍出的面積——圓形邊界內部的平面區域。答案 A = pi · r^2，是整個數學中最著名的公式之一。

這裡給一個不用微積分的直覺。把圓盤切成許多很細的扇形楔子，把它們交替地尖朝上、尖朝下排好，像牙齒互相咬合一樣。結果幾乎是一個矩形：它的高是半徑 r，長邊是圓周長的一半，即 pi · r（另一半構成底邊）。這個矩形的面積為 r 乘 pi · r = pi · r^2，而當楔子愈切愈細時，形狀就變成一個完美的矩形，所以面積恰好是 pi · r^2。這正是把正多邊形的論證（面積 = 周長的一半乘以邊心距）推到極限。

由於半徑被平方，面積增長得很快：半徑加倍，面積變成四倍；半徑變三倍，面積變成九倍。一個 16 吋披薩並不是 8 吋披薩的兩倍，而是四倍的份量。也要注意公式用的是半徑，不是直徑——一個常見的失誤是代入直徑，結果多算了四倍。