扇形與弓形的面積

切一塊派，你就有了一個扇形——由兩條半徑和它們之間的弧所圍成的楔形區域。用一條直弦切過圓，你切下來的較小那塊（由弦和一段弧圍成）就是弓形。兩者都是整個圓盤的一部分，而圓心角會告訴你是多少分之一。

扇形就是對應於其圓心角的那塊圓盤。若圓心角為 theta 度，扇形就是整圓的 theta/360，所以它的面積為 (theta/360) · pi · r^2。用弳度表示則更簡潔：面積 = (1/2) · r^2 · theta。圍成扇形的弧，長度為 r · theta（弳度）或 (theta/360) · 2 · pi · r（度）。

弓形是把三角形從扇形中切掉後剩下的部分。取扇形，再移除由兩條半徑和弦所構成的三角形：那個三角形的面積為 (1/2) · r^2 · sin(theta)。所以弓形面積為 (1/2) · r^2 · theta 減去 (1/2) · r^2 · sin(theta) = (1/2) · r^2 · (theta - sin theta)，theta 以弳度為單位。誠實的微妙之處：要減的是三角形的面積，不是弦的長度——是扇形減三角形，絕不是扇形減弦。