variance-gamma 過程（variance-gamma process）

variance-gamma 過程是帶漂移的布朗運動在伽瑪隨機時鐘上運行——從屬的教科書範例，也是最受歡迎的資產對數報酬純跳躍模型之一。它捕捉了 Black-Scholes 高斯所遺漏的實證事實：更重的尾部、過度峰度與偏度，同時保持分析上可處理、具封閉形式特徵函數。

把它建構為 X_t = theta G_t + sigma B_{G_t}，其中 G_t 是單位平均速率（故 E[G_t] = t）、變異數速率 kappa 的伽瑪從屬過程，B 為獨立布朗運動，theta 為漂移、sigma 為波動率。用伽瑪時鐘改變布朗運動之時間，產生有限變差的純跳躍李維過程，其特徵指數由從屬給出，psi_X(u) = -(1/kappa) log(1 - i theta kappa u + sigma^2 kappa u^2 / 2)。其三個具經濟意義的參數為 sigma（波動率）、theta（偏度：theta < 0 給出左偏、易崩盤的報酬）與 kappa（峰度：kappa 越大尾部越肥）。儘管由布朗運動建成，過程「無」布朗（連續）成分——隨機時間變換把擴散轉成無窮多小跳躍；它有限變差，且李維測度無窮並具已知密度。

VG 用於跨履約價一致地定價選擇權（其擬合波動率微笑遠勝 Black-Scholes），並建模具肥尾與偏度的報酬。值得指出的注意點：雖然 VG 由布朗運動而生，結果是有限變差的「純跳躍」過程、無連續鞅部分——故 VG 市場與擴散市場行為不同（例如避險與二次變差的局部行為相異）。且伽瑪時鐘須與驅動布朗運動獨立，乾淨的從屬公式才成立；相關版本是不同的模型。