逆高斯過程（inverse-Gaussian process）

逆高斯過程是增量服從逆高斯分布的從屬過程——而其名稱是字面意義的：它是帶漂移布朗運動到達各連續水平之首達時間的過程。它是天然的遞增隨機時鐘，用於從屬布朗運動時，產生 normal-inverse-Gaussian（NIG）模型，一個與 variance-gamma 競爭的彈性財務模型。

具體地，若 W_t = mu t + B_t 是正漂移 mu 的布朗運動，則 T_a = inf{t : W_t = a}（首次到達水平 a 的時間）定義一個關於 a 的遞增過程；增量 T_{a+da} - T_a 服從逆高斯。作為李維過程，T_a 的拉普拉斯指數為 Phi(u) = delta(sqrt(2u + gamma^2) - gamma)（參數 delta, gamma > 0），李維測度為 x > 0 上 nu(dx) = (delta / sqrt(2 pi)) x^(-3/2) e^(-gamma^2 x / 2) dx，無漂移、無高斯部分。零處的 x^(-3/2) 奇異性使 nu 無窮（無窮多小跳躍）但對 x 可積，故過程有限變差，如同伽瑪過程。逆高斯律本身就是典範的首達分布，無窮可分，具明確密度與動差生成函數。

用 IG 過程從屬布朗運動得 Barndorff-Nielsen 的 normal-inverse-Gaussian（NIG）李維過程，它具半重（指數傾斜）尾部，被廣泛用於建模金融報酬與湍流。誠實要點：「逆高斯」不是指高斯的倒數——其名稱源自首達時間與高斯之累積量生成函數之間的逆關係，這個歷史命名常令新手困惑。