單位圓

直角三角形的比值只對 0 到 90 度之間的角才說得通——你畫不出一個含 200 度角的三角形。單位圓正是把正弦、餘弦從三角形中解放出來、使它們能描述每一個角（包括負角和超過一整圈的角）的裝置。它是三角學中最重要的一幅圖。

在座標平面原點處畫一個半徑為 1 的圓。從 (1, 0) 出發，逆時針轉過角 theta，你會落在圓上一點 P，而這點的座標就是 theta 的餘弦與正弦：P = (cos theta, sin theta)。所以餘弦是這個旋轉點的水平座標，正弦是它的鉛直座標；正切則是兩者之比 sin theta / cos theta，即原點到 P 的連線斜率。對銳角來說，這與舊的三角形定義完全吻合（半徑就是長度 1 的斜邊），但現在任何角都行——順時針轉得負角，越過 360 度則重複。

其餘一切都由這幅圖流出。正弦、餘弦在各象限的正負號、參考角技巧、週期性與圖形的波形，以及 30、45、60、90 度那些著名數值，全都能直接從圓上讀出。把這些特殊角的座標、以及哪個座標是哪個函數背下來，是後面每一條恆等式所倚靠的基礎。