無限叢集的唯一性（uniqueness of the infinite cluster）
/ Burton-Keane: BURR-tun KEEN /
在臨界點之上，無限開放叢集幾乎必然存在——但有幾個？會不會有兩個、甚至無窮多個互不相交的無限叢集？這個從局部圖像看來深不可測的答案是：恰有一個。這個唯一性定理是滲流的結構支柱之一：它告訴我們超臨界相只有單一的連通「海洋」，而非數個相互競爭的無限海洋，且它支撐了幾乎每個關於超臨界相幾何的論證。
伯頓（Burton）與基恩（Keane）1989 年的定理陳述：對 Z^d 上的伯努利滲流（事實上對 {0,1}^E 上任何平移不變、遍歷、有限能量的測度），無限開放叢集數 N 幾乎必然是常數，等於 0、1 或無限；而無限這個值不可能。因此一旦存在無限叢集（p > p_c），它幾乎必然唯一。證明是一個漂亮的計數論證，並不直接用獨立性，只用有限能量性質（給定其他所有邊，某條邊為開的條件機率與 0 和 1 都有正距離）。其想法是：若有三個或更多無限叢集，可建構「三叉點」——無限叢集分岔成三條無限臂的位點——而平移不變性迫使它們有正密度；但邊長 n 的區域其邊界上至多含 n^d 階的三叉點，與正體積密度矛盾。於是「0、1 或無窮多」被逼到只剩 0 或 1。
唯一性正是讓超臨界相可處理的關鍵：它讓人能談論「那個」無限叢集、定義其密度 theta(p)、研究其上的隨機漫步，並證明該叢集在大尺度上看起來像格的一個微擾副本。關於適用範圍的警告：有限能量是必要的。存在自然的相依模型（以及在非可均圖如樹與雙曲格上的滲流），其無限叢集確實非唯一——在正則樹閾值之上有無窮多個無限叢集。唯一性是 Z^d 這類可均格的特性，並非普遍定律。
在 Z^2 中恰在 p_c = 1/2 之上，模擬一個大方盒：你會看到一個貫穿整個區域的巨大叢集與許多小的有限叢集，但絕不會有兩個都觸及四邊卻不合併的大叢集。相對地，在 3-正則樹上於同等高於閾值的密度下，相異的無限分支永不重新連接，故有不可數多個無限叢集。
在可均格 Z^d 上只有一個無限叢集；在非可均樹上有無窮多個。
伯頓-基恩證明只需平移不變性、遍歷性與有限能量——不需獨立性。捨去可均性（如在樹或雙曲圖上）會徹底破壞唯一性，因此該定理確實是 Z^d 的特性。