吉布斯測度與 DLR 方程（the Gibbs measure and the DLR equations）
/ DLR = Dobrushin-Lanford-Ruelle; Dobrushin: do-BROO-shin; Ruelle: roo-ELL /
在有限系統上，吉布斯（波茲曼）測度很簡單：以 e^(-beta H) 為每個組態加權再正規化。但統計力學活在無限體積（熱力學）極限中，那裡能量 H 是無窮和、配分函數發散，故天真的公式毫無意義。多布魯申-蘭福德-呂埃（Dobrushin-Lanford-Ruelle，DLR）方程是無限體積吉布斯測度的正確定義——也是讓相變精確地成為「同一交互作用存在多於一個此種測度」的框架。
DLR 進路不要求一個全域的波茲曼公式，而是一致地指定所有條件分布。固定一個交互作用（一族局部能量項）。對每個有限區域 Lambda，這定義一個有限體積條件測度：給定 Lambda 之外的組態（邊界條件），Lambda 內的組態服從由觸及 Lambda 之鍵的能量所決定的波茲曼分布 gamma_Lambda。無限組態空間上的機率測度 mu 是該交互作用的吉布斯測度，若它在每個有限 Lambda 上、給定外部時的條件分布恰等於這個規範 gamma_Lambda——亦即 mu 與族 { gamma_Lambda } 一致。這些一致性關係就是 DLR 方程。所有此種 mu 構成一個凸集；其極點是純相，而一般的吉布斯測度是純相的混合（由舒凱 Choquet 理論，對極點取積分）。吉布斯測度的唯一性意味邊界條件在無限體積極限中被遺忘（唯一相）；非唯一性——兩個或更多吉布斯測度——正是一階相變／相共存的嚴謹定義。
這個抽象是平衡統計力學的現代語言，涵蓋伊辛模型（其 + 與 - 態在 beta_c 以下是兩個相異的吉布斯測度，故自發對稱破缺），並連到遍歷理論（極端吉布斯測度恰是那些具平凡尾 sigma-代數者）。誠實的微妙處是真實的：至少存在一個吉布斯測度並非自動，但在緊性／準局部性條件下成立；唯一性可由多布魯申唯一性條件（對交互作用的微小性判準）在高溫保證，但在 d >= 2 的低溫失效——該失效「就是」相變。而在 d = 1 且有限程交互作用下，吉布斯測度恆唯一，這正是一維系統不展現相變的嚴謹原因。
對 beta_c 以下的二維伊辛模型，以全正與全負邊界條件取無限體積極限：它們產生兩個相異的吉布斯測度 mu+ 與 mu-（磁化各為 +m* 與 -m*），兩者皆滿足同一組 DLR 方程。它們作為不同解的存在正是相共存。在 beta_c 以上，兩種邊界條件給出同一個唯一的吉布斯測度——無相變。
DLR 解的非唯一性 = 相共存；beta_c 以下伊辛的 + 與 - 態是模型範例。
相變嚴格而言是「同一交互作用存在多於一個吉布斯測度」——而非單一測度的奇異性。在 d = 1 且有限程交互作用下吉布斯測度恆唯一，這正是真正的一維相變不發生的原因。