平穩過程上的位移（shift on a stationary process）

位移是使遍歷理論與平穩過程理論成為同一學科的對照詞典。它說，要研究一個平穩隨機過程，你可以不失一切地去研究一個標準的保測變換——序列空間上的位移——並從動力讀出過程的每個性質。這正是為何上述所有遍歷定理同時也是時間序列的定理。

構造。給定平穩實值過程 (X_n)_(n in Z)（或 n >= 0），令 Omega = R^Z 為所有序列的路徑空間，P 為 (X_n) 之律（其聯合分布），定義位移 T 為 (T omega)_n = omega_(n+1)。座標映射 f(omega) = omega_0 即重現過程：在 P 下 X_n = f(T^n omega)（= omega_n）。過程平穩恰當其律位移不變，即 P(T^(-1) A) = P(A)——故過程的平穩性等同於 T 保測。系統 (R^Z, P, T) 即標準模型，而一個過程稱為遍歷 / 混合 / 弱混合，恰當其位移如此。透過此視角，不變 sigma-代數 I 成為過程的位移不變事件（不受時間平移改變、類尾的事件）。

後果立即湧現。伯克霍夫定理成為平穩序列的遍歷定理：(1/n) sum_(k<n) g(X_k, X_(k+1), ...) -> E[ g(X_0, X_1, ...) given I ] 幾乎必然，遍歷時為常數 E[g(...)]——即相依平穩資料的大數法則。遍歷分解成為「每個平穩過程都是遍歷平穩過程的混合」之陳述（動力版德菲內蒂圖像）。誠實警告：過程可平穩而不遍歷（又是隨機偏度的硬幣），此時時間平均收斂但收斂到隨機極限；且平穩性是指整個律位移不變，而非僅均值與變異數為常數（那較弱的條件是寬義 / 二階平穩，不足以支撐遍歷定理）。