保測變換（measure-preserving transformation）
遍歷理論研究尊重某個機率測度的動力系統：一個從機率空間 (Omega, F, P) 到自身的映射 T，把測度推回自身，因此施加 T 之後統計圖像保持不變。唯有在此抽象框架下，「時間平均是否等於空間平均」這個問題才有意義；它也是任何平穩隨機過程的自然棲身之所。
精確地說，T : Omega -> Omega 若可測且對每個 A 屬於 F 都有 P(T^(-1) A) = P(A)，則稱 T 為保測（m.p.）。這裡用的是原像 T^(-1) 而非正向像，因為對於不可逆映射與積分而言原像才有良好性質：一個乾淨的等價說法是對每個可積 f 都有 E[f compose T] = E[f]，即「晚一步」積分 f 得到相同答案。反覆迭代，T^n 對所有 n 都保測，而軌道 Omega -> T Omega -> T^2 Omega ... 是一個確定性流，卻仍保持所有機率。當 T 可逆、其逆可測，且 T 與 T^(-1) 皆保測時，稱為自同構。
保測正是讓遍歷定理得以運作的假設；一旦放棄它，伯克霍夫平均未必收斂到任何有意義的東西。它也正是平穩性的抽象內容：一個實值過程 (X_0, X_1, ...) 是平穩的，當且僅當它由位移下的座標函數在某保測系統中生成。所以「保測變換」與「平穩過程」是同一個觀念的兩種語言。
在 Omega = [0,1) 配勒貝格測度上，倍乘映射 T(x) = 2x mod 1 是保測的：每個區間有兩個各為一半長度的原像，故 P(T^(-1) A) = P(A)。旋轉 T(x) = x + alpha mod 1 則既保測又可逆。
兩個典型例子：擴張（不可逆）映射與旋轉（可逆）——兩者都保持勒貝格測度。
保測談的是測度而非度量：T 可以劇烈地拉伸與摺疊空間（倍乘映射在局部把長度加倍），卻仍透過二對一的摺疊保持整體機率。