伯克霍夫遍歷定理（Birkhoff ergodic theorem）
/ BIRK-hoff /
伯克霍夫定理是遍歷理論的核心定理，也是強大數法則最深刻的推廣：它說對保測系統而言，可觀測量沿幾乎每條軌道的時間平均收斂，並辨識出極限。它是「時間平均存在」的精確意涵。
陳述：設 (Omega, F, P, T) 保測且 f 屬於 L^1(P)。則時間平均 A_n f (x) = (1/n) sum_(k=0)^(n-1) f(T^k x) 對 P-幾乎每個 x 收斂，極限等於條件期望 E[ f given I ]，其中 I 為不變 sigma-代數。此極限也是 L^1 極限。若 T 遍歷，則 I 平凡而極限為常數 E[f]——時間平均等於空間平均。逐點（幾乎必然）收斂是困難之所在；現代證明仰賴極大遍歷定理（或加西亞精巧的極大不等式），它控制部分平均能變得多大。
伯克霍夫定理是萬用範本：代入適當的 (Omega, F, P, T) 即可恢復獨立同分布序列的強大數法則（伯努利位移）、無理旋轉軌道的等分布（外爾）、任何平穩過程經驗頻率的收斂、以及連分數統計（高斯映射）。其假設恰是你能猜到的兩條，且兩條都不可默默省略：f 須可積（E|f| < infinity）極限才存在，T 須保測平均才會收斂；遍歷性是額外假設，僅為迫使極限為常數所需。誠實的警告：無遍歷性時極限是真正的隨機變數，在不同遍歷分量上取不同值，故「收斂」不等於「收斂到均值」。
在 [0,1) 上配高斯映射 T(x) = 1/x mod 1 及其不變高斯測度 dP = (1/log 2) dx/(1+x)，對 f = 1_{連分數首位 = 1} 套用伯克霍夫，得：對勒貝格-幾乎每個 x，其連分數中數字 1 的漸近頻率為 log_2(4/3)——一個由不變測度算出的空間平均。
伯克霍夫把關於幾乎每條個別軌道的問題，化為一個對不變測度的單一積分。
(1/n) sum f(T^k x) 的收斂是深刻的幾乎必然陳述，而非容易的 L^2 事實（那是馮諾依曼的平均遍歷定理）。極大遍歷定理是把 L^2 收斂升級為幾乎處處收斂的引擎。