馮諾依曼平均遍歷定理（von Neumann mean ergodic theorem）
/ fon NOY-mahn /
馮諾依曼定理是遍歷定理的希爾伯特空間、L^2 版本，且實際上更早出現（1931 年，比伯克霍夫早一年）。伯克霍夫斷言時間平均的幾乎必然收斂，馮諾依曼則斷言均方收斂——一種較柔和的模式，因為純屬算子理論而遠為易證，卻已釘住極限。
此框架把動力抽象為一個算子。給 T 配上 L^2(P) 上的庫普曼算子 U，定義為 Uf = f compose T；因 T 保測，U 是等距（||Uf|| = ||f||），而 T 可逆時 U 為么正。定理說：對希爾伯特空間 H 上的任何壓縮（或等距）U，切薩羅平均 (1/n) sum_(k=0)^(n-1) U^k f 依範數收斂到 P_inv f，即 f 在 U-不變向量子空間 {g : Ug = g} 上的正交投影。證明優雅：H 分解為不變向量加上餘邊界 {g - Ug} 的閉包；平均固定前者，並以伸縮法消去後者。譯回去，(1/n) sum f(T^k .) -> E[ f given I ] 於 L^2，與伯克霍夫同一極限但為均方意義。
其價值部分是概念性的——它揭示遍歷平均為向不變量的投影，此觀點驅動動力系統的譜論（混合、弱混合與熵皆透過 U 獲得譜刻畫）。它也是這對定理中技術上方便的一半：許多結果只需 L^2 收斂，且馮諾依曼定理乾淨地推廣到算子族與可均群作用。須謹記的誠實區別：均方（L^2）收斂本身並不給出幾乎必然收斂——那真正更強的結論屬於伯克霍夫，需要極大不等式而非僅正交性。
對保測 T 的庫普曼算子 U，在遍歷系統上取 E[f] = 0 的 f。不變子空間僅為常數，故 P_inv f = 0，馮諾依曼給出 || (1/n) sum_(k<n) f compose T^k ||_2 -> 0——中心化時間平均在 L^2 中縮為零，一個僅憑正交性即可證明的乾淨遍歷均值陳述。
遍歷平均視為向不變量的正交投影——本學科的算子理論核心。
平均遍歷收斂對希爾伯特空間上任何壓縮皆成立，無需保測；動力內容（與幾乎必然收斂）是伯克霍夫多走的那一哩。