伊辛模型與波茨模型（the Ising and Potts models）
/ Ising: EE-zing; Potts: POTS /
伊辛模型是鐵磁體的典範數學模型，也是統計力學中研究最多的系統。它問：若相鄰原子自旋偏好對齊，宏觀磁鐵何時會自發磁化？它是「相變——臨界溫度處的有序-無序轉變——既有物理動機又能嚴謹分析」的最乾淨場景，並透過一個深刻的等價（隨機叢集表示）緊鄰滲流。
在 Z^d 的有限方盒上，於每個位點放一個自旋 sigma_x 屬於 {-1, +1}。組態 sigma 的能量（哈密頓量）為 H(sigma) = - 對相鄰對 {x,y} 求和 sigma_x sigma_y（減去外場項 h sum_x sigma_x），故對齊的鄰居降低能量。吉布斯／波茲曼測度以 e^(-beta H(sigma)) / Z 為每個組態加權，其中 beta = 1/(kT) 是逆溫，Z = 對 sigma 求和 e^(-beta H) 是配分函數（其導數生成所有熱力學量的正規化常數）。高溫（小 beta）時自旋近乎獨立、系統無序；低溫（大 beta）時對齊項主導、系統可發展出長程序。自發磁化 m*(beta) 是無限體積中加正邊界條件、零外場時每位點的極限平均自旋；它在臨界逆溫 beta_c 之上為零、之下嚴格為正，標誌著相變。波茨模型把它推廣為 q 種顏色而非兩種自旋：每位點取 {1,...,q} 中的值，相鄰同色降低能量；q = 2 復原伊辛。二維中伊辛臨界點可精確求解（昂薩格 Onsager，1944），臨界以下磁化為 m* = (1 - sinh^(-4)(2 beta))^(1/8)。
其重要性：伊辛模型是嚴謹統計力學幾乎每個想法的試驗場——相關不等式（GKS、FKG、Lebowitz）、d >= 2 中相變的派爾斯論證、d = 1 中無相變、d = 2 中的精確解、以及二維臨界模型的共形不變性（又是斯米爾諾夫，界面為 SLE_3）。誠實的微妙處：一維中沒有相變（單一錯位的鍵只耗有限能量，故任何正溫度下序都被破壞），而 beta_c 以下多個吉布斯測度（正／負態）的存在，正是「自發對稱破缺」的嚴謹意涵。大 q 的波茨模型呈一階（不連續）相變，不同於伊辛的連續相變，故相變「的」本質依賴 q 與 d。
在 Z^2 低溫下，於一個邊界自旋全為 +1 的方盒中啟動伊辛模型。在 beta_c 以下，即使方盒增大，體相磁化仍保持為正：正邊界「獲勝」，淨磁化在無限體積極限中存留。在 beta_c 以上（高溫），邊界影響消退，無論邊界條件為何體相磁化皆為 0——兩種邊界條件給出相同的吉布斯態。
邊界條件在 beta_c 以下重要（多個吉布斯態），在其上則否（唯一態）。
一維中沒有相變——單一疇壁只耗有限能量，故任何正溫度都破壞長程序。且相變類型依賴模型：伊辛為連續，但大 q 的 q 態波茨模型為一階（不連續）。