共形不變性與 SLE 連結（conformal invariance and the SLE connection）
/ Smirnov: smeer-NOFF; Schramm-Loewner: shram-LERV-ner; Cardy: CAR-dee /
在臨界處，二維滲流沒有特徵尺度，物理學家長久以來猜測比尺度不變性更強的事：完整的共形不變性——不僅在重新標度下不變，更在平面所有保角映射下不變。若為真，臨界界面的連續極限應是僅由共形對稱性決定的一條典範隨機曲線。施拉姆（Schramm）的洞見把這個物理夢想化為精確、可分類的數學物件，而斯米爾諾夫（Smirnov）的定理對一個模型證明了該猜想。
施拉姆（2000）觀察到：任何具自然馬可夫型性質（共形馬可夫性質：給定曲線過去後其未來的律，是原律的共形像）的共形不變隨機曲線，必為施拉姆-洛溫納演化 SLE_kappa——一個單參數隨機曲線族，由以變異數 kappa t 的布朗運動驅動洛溫納微分方程得到。單一參數 kappa 選定模型。斯米爾諾夫（2001）證明三角格上的臨界位滲流在標度極限下共形不變：共形矩形的跨越機率收斂到卡迪公式（共形交比的超幾何表達式），而開閉之間的探索過程界面收斂到 SLE_6。由 SLE_6 可嚴格導出二維臨界指數——beta = 5/36、nu = 4/3 等——因為 SLE 有可計算的維度與多重碎形譜。
此處的誠實尖銳而重要。斯米爾諾夫定理只對三角格上的位滲流被證明；共形不變性與卡迪公式對 Z^2 鍵滲流及一般格仍是猜想，因為證明利用了一個特殊的組合恆等式（卡迪-卡爾松輪廓積分），未知它在別處成立——二維滲流標度極限的普適性仍未解。共形不變性也嚴格是二維現象：在 d = 3 及以上，沒有足夠豐富的共形映射群來釘住極限，且 SLE 無高維對應。所以這幅美麗、精確的圖像是一個侷限於平面、且嚴格上侷限於單一格的勝利。
取一個共形矩形（具四段標記邊界弧的若爾當域）。卡迪公式預測兩相對弧間開放跨越的極限機率為共形模的超幾何函數 2F1，與格在其內如何鋪設無關。斯米爾諾夫對三角格位滲流精確驗證了此事，確認了公式及其共形協變性。
卡迪公式：一個共形不變的跨越機率，對三角格位滲流已證明。
共形不變性與 SLE_6 極限只對三角格上的位滲流被證明；對 Z^2 鍵滲流仍是猜想。而整幅圖像本質上是二維的——在 d >= 3 沒有 SLE 或共形綱領。