臨界機率（the critical probability）

臨界機率 p_c 是滲流相變的精確位置：系統在此參數值處突然從「無無限叢集」切換到「有無限叢集」。它是本主題的核心數。一切有趣之物——標度律、碎形臨界叢集、二維中的共形不變性——都活在 p_c 周圍一個趨於零的薄窗中。確定其值，並證明該處的相變確實尖銳，是滲流理論的核心綱領。

乾淨的定義是 p_c = sup{ p : theta(p) = 0 } = inf{ p : theta(p) > 0 }，即滲流機率的閾值。對 p < p_c（次臨界相），原點叢集幾乎必然有限；對 p > p_c（超臨界相），它以正機率為無限，且幾乎必然存在無限叢集。第一個非平凡的事實是 p_c 嚴格在內部：在每個維度 d >= 2 中 0 < p_c < 1。上界 p_c < 1 來自派爾斯（Peierls）型論證——數出從原點出發的自避路徑，並證明在 p 夠接近 1 時，到達距離 n 的開放路徑期望數成長，迫使無限叢集出現。下界 p_c > 0 來自對輪廓或路徑的計數界：從原點出發長度為 n 的開放自避路徑期望數至多為 (mu p)^n，其中 mu 是連接常數，故對 p < 1/mu 此和有限，叢集不可能無限。一維中模型退化：任何單一閉邊都切斷直線，故 p_c = 1。

更晚近且更有力的洞見是：相變是尖銳的，而非漸進的。Menshikov 與 Aizenman-Barsky 定理（以及 Duminil-Copin 與 Tassion 的現代證明）表明，藉 theta(p) 定義的閾值與叢集大小指數衰減的閾值重合：存在單一點 p_c，其下連通機率指數衰減、其上存在無限叢集，沒有中間的「類臨界」區。因此各種先驗上可能不同的閾值都坍縮到同一個 p_c。誠實的告誡：除了特殊的可精確求解情形（Z^2 鍵、三角格位、樹），p_c 的數值並無封閉形式——它是一個依賴於格、只能估計的常數。