開放叢集與滲流機率（the open cluster and the percolation probability）

一旦隨機介質就位，最具資訊量的單一量是滲流機率 theta(p)：原點落在無限開放叢集中的機率。它扮演相變的序參量角色——在 p_c 一側恰為零、另一側嚴格為正的那個數，就像磁鐵在居禮溫度兩側的磁化強度。研究 theta(p) 正是我們把「流體能流向無限遠」這句含糊的話化為 p 的精確函數的方式。

記 C = C(0) 為原點的開放叢集，|C| 為其所含頂點數。滲流機率為 theta(p) = P_p(|C| = 無限)，即原點叢集為無限的機率。由平移不變性，原點並不特殊，因此 theta(p) 也是屬於某無限叢集的頂點密度：由遍歷定理，方盒 [-n,n]^d 中落在無限叢集裡的比例幾乎必然收斂到 theta(p)。函數 theta 對 p 不減（更多開放邊只會助益連通，可由 FKG 不等式與耦合嚴格證明），它右連續，且 theta(0) = 0、theta(1) = 1。臨界機率於是恰好定義為閾值 p_c = sup{ p : theta(p) = 0 }：在 p_c 以下，原點叢集幾乎必然有限；在 p_c 以上，它有正機率為無限。

知道 theta(p) > 0 與知道幾何並不相同。一個微妙而著名的未解問題是臨界點處的連續性：theta(p_c) = 0 嗎？也就是說，恰在臨界處是否沒有無限叢集？此事在 d = 2（Harris、Kesten）與高維（Hara-Slade，藉由蕾絲展開）已知，但對物理上有趣的中間維度如 d = 3，截至 2020 年代初仍未證明。其重要性在於：theta(p_c) = 0 正是讓相變連續（二階）的原因，而大部分的標度與共形不變性圖像都預設了它。