三等分角（trisecting an angle）
二等分角——把它切成相等的兩半——用圓規與直尺是五分鐘的練習。所以很自然會問下一步：把任意角切成相等的「三」份。人們追尋這個作圖追了兩千多年。誠實的答案，由瓦策爾（Wantzel）在 1837 年證明：對一般角，用這些工具永遠辦不到。
以下直白地說出不可能的核心。三等分角 theta 意味著從 cos(theta) 作出長度 cos(theta/3) 的線段。取非常具體的例子 theta = 60 度，一個完全可作的角。三等分它需要 cos(20 度)，而三倍角的三角恆等式顯示 cos(20 度) 是三次方程 8x^3 - 6x - 1 = 0 的根。此三次式在有理數上不可約，故 cos(20 度) 在有理數上的次數為 3。但每個可作圖數的次數都是 2 的某次方。既然 3 不是 2 的次方，cos(20 度) 不可作，所以 60 度無法被三等分。
兩點誠實補充。第一，「某些」角能被三等分——例如 90 度角，因為 30 度角可作；不可能性針對的是「一般」角，而非每個角。第二，不可能性只針對無刻度直尺與圓規。若允許有刻度的尺（neusis 作圖）、摺紙，或某條特殊曲線，三等分就變成例行公事。古典問題之所以不可能，純粹是因為那套刻意受限的工具。
三等分 60 度需要 cos(20 度)，它是 8x^3 - 6x - 1 = 0 的根。此三次式在有理數上不可約，所以 cos(20 度) 的次數為 3——不是 2 的次方——因此不可作，60 度無法三等分。
次數為 3 的數無法只靠平方根達到，所以一般角抗拒三等分。
無法被三等分的是「一般」角，不是每個角；而且不可能性只在無刻度直尺與圓規下成立。有刻度的尺（neusis）或摺紙方法能輕易三等分角。要提防任何宣稱有古典三等分作圖的人——它不可能存在。