化圓為方（squaring the circle）

給定一個圓，你能不能只用圓規與直尺，作出面積恰好相同的正方形？「化圓為方」這個說法甚至進入了日常語言，成為「不可能任務」的代名詞——而這個名聲在數學上是名副其實的。人們從古代追到 1882 年，它才終於被了結，靠的不是幾何，而是關於數 pi 的一個深刻事實。

半徑為 1 的圓面積為 pi。面積相同的正方形邊長必為 sqrt(pi)，所以化圓為方等同於作出長度 sqrt(pi)——而這可行，當且僅當 pi 本身可作。可是每個可作圖數都是代數數：它滿足某個有理係數的多項式方程（事實上是次數為 2 的次方者）。但 1882 年林德曼（Lindemann）證明 pi 是超越數——它「根本」不滿足任何有理係數的多項式方程。超越數絕不可能可作，所以 sqrt(pi) 無法作出，圓無法化為方。

這是三大古典不可能問題中最深刻的一個。三等分與倍立方敗在「次數為 3」的代數障礙上；化圓為方則敗在 pi 一開始就不是代數數——一個遠為強烈的陳述，需要十九世紀的分析學才證得出來。不可能性，再一次，只針對古典工具：用其他曲線或儀器可以造出等於 pi 的長度。而近似很容易——你能讓正方形面積要多接近圓就多接近——但「精確」的古典作圖則被證明力所不及。