倍立方（doubling the cube）

傳說提洛島的居民懇求神諭止息瘟疫，得到的指示是把他們的立方體祭壇加倍。他們天真地把每條邊都加倍——但那讓體積變成八倍，而非兩倍。真正的任務是：用圓規與直尺，作出體積恰為給定立方體兩倍的立方體。就像三等分角一樣，它聽起來合理，實際上卻不可能。

把體積加倍意味著新邊長必須是舊邊長乘上 2 的立方根：若原邊長為 1，新邊長即 2^(1/3)，因為 (2^(1/3))^3 = 2。於是整個問題歸結為單一問題：2 的立方根是可作圖數嗎？它在有理數上的最小多項式是 x^3 - 2，此式不可約（無有理根）。因此 2 的立方根在有理數上的次數為 3。但每個可作圖數的次數都是 2 的某次方——而 3 不是。所以 2^(1/3) 無法被作出，立方體無法用這些工具加倍。

注意這份家族相似：三等分 60 度角與倍立方都栽在「次數為 3」的障礙上——一個平方根作圖永遠破解不了的三次式。化圓為方則敗得更徹底，敗在 pi 的超越性上。一如往常，不可能性繫於無刻度直尺與圓規；若用有刻度的尺，或藉圓錐曲線相交（希臘人已知的方法），2 的立方根確實可以作出。