可作圖數（constructible number）

先取一條線段，宣告它的長度為 1。那麼只用圓規與直尺，你還能造出哪些其他長度？若能從這個單位出發、作出長度恰為某數的線段，就稱該數為可作圖數。這個單一概念是把「作圖」這個幾何遊戲轉成代數問題的橋樑，而最終決定何者可能的，正是代數。

從長度 1 出發，你能作出和與差（線段首尾相接）、積與商（用相似三角形），以及——關鍵的額外能力——平方根（一個俐落的技巧用半圓內接直角三角形的高，給出長度 a 與 1 的比例中項 sqrt(a)）。所以可作圖數構成一個體（field），而且它含有其中任何元素的平方根：從有理數出發，你可以一再開平方根。用代數的話說，一個數可作，當且僅當它落在某座「每層由上一層添加一個平方根而得」的體塔中——等價地說，它是代數數，且其在有理數上的最小體擴張次數是 2 的某次方。

這個代數判準是每個不可能性結論的萬能鑰匙。2 的立方根在有理數上的次數為 3（不是 2 的次方），所以倍立方辦不到。cos(20 度) 滿足一個不可約的三次方程，所以三等分 60 度角辦不到。而圓周率 pi 是超越數——它根本不滿足任何有理係數多項式，更別說次數為 2 的次方者——所以化圓為方辦不到。幾何之所以不可能，是因為那些數不可作。