辛同胚（symplectomorphism）
若辛流形是力學的幾何舞台，那麼辛同胚就是物理無法與原本區分的換舞台——一個恰好保持量面積 2-形式的微分同胚。正如等距保持度量、全純映射保持複結構，辛同胚是辛幾何的保結構映射。在古典力學中它們恰恰就是正則變換：保持哈密頓方程標準形式的位置-動量座標變換。
精確地說，給定辛流形 (M, omega_M) 與 (N, omega_N)，辛同胚是滿足 f^* omega_N = omega_M 的微分同胚 f: M -> N，其中 f^* 是形式的拉回。當 M = N 時這是辛流形的對稱，而辛同胚在複合下構成無窮維群 Symp(M, omega)。因為 omega^n 被保持，每個辛同胚都自動保持典範體積——所以它特別是保體積的（這是劉維爾定理的抽象形式）。一個核心例子來源：任何哈密頓向量場的時間 t 流都是辛同胚，所以任何哈密頓系統的動力學都是辛同胚的單參數族。
為何重要：辛拓樸的核心戲劇在於，Symp 比保體積微分同胚群小得多也剛硬得多，儘管兩者都保體積。格羅莫夫不擠壓定理是這一點最銳利的陳述：保體積映射可以把一個球擠進細管，但辛同胚不能。一個常見失誤是在 2n > 2 維中假設「保體積」等同「辛同胚」；並非如此。保體積確實更弱，而兩者間的鴻溝恰恰是辛剛性所衡量的。
在 (R^2, dp ^ dq) 上，線性映射 (q, p) -> (q + p, p)（一個剪切）滿足 f^* (dp ^ dq) = dp ^ d(q + p) = dp ^ dq，所以它是辛同胚——它保持面積，正如剪切應有的那樣。相對地，(q, p) -> (2q, p) 把面積加倍，故不是辛的。在高維中，(R^{2n}, omega_0) 的線性辛同胚恰恰是辛群 Sp(2n, R) 裡的矩陣。
剪切保持 dp ^ dq 故為辛的；改變面積的伸縮則不是。
在二維中，保面積與辛是一致的（omega 就是面積形式）。只有從四維起，辛同胚才嚴格地比保體積映射更稀少——那種嚴格性正是辛剛性的全部內容。