辛流形（symplectic manifold）
想想一個運動粒子的狀態：你既需要它在哪裡（位置），也需要它如何運動（動量）。把這兩者捆在一起，就得到相空間，古典力學的自然舞台。辛流形就是這種相空間的抽象幾何。黎曼流形用度量來量長度與角度，而辛流形改用一個特殊的 2-形式來量小平行四邊形的有向面積；正是這個量面積的結構——而非距離——驅動了哈密頓運動方程。
精確地說，辛流形是一對 (M, omega)，其中 M 是光滑的偶維流形，omega 是一個閉的（d omega = 0）且非退化的（在每一點，若對所有 w 都有 omega(v, w) = 0 則 v = 0）微分 2-形式。非退化逼使維數為偶，記作 2n，並使 omega^n 成為處處不為零的頂形式，所以 M 自動可定向，帶有典範體積形式 omega^n / n!。閉性 d omega = 0 是深刻的條件：它使 omega^n 表現得像守恆的體積，也使局部模型變得僵硬。基本例子是 R^{2n}，座標 (q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n)，omega = sum dp_i ^ dq_i；基本的幾何例子是任何餘切叢 T*N 配上它的典範 2-形式。
為何重要：辛幾何是哈密頓力學的不依座標語言，而透過達布定理它有一個驚人特徵——沒有任何局部不變量。同維數的兩個辛流形在夠小的小塊上看起來一模一樣，這不同於可被曲率局部區分的黎曼流形。所以不存在「辛曲率」：所有幾何都是整體的、拓樸的。一個常見混淆是把 omega 想成某種度量；它不是。它是反對稱的（omega(v, w) = -omega(w, v)），故 omega(v, v) = 0——一個向量的「辛自配對」為零，這正是為何面積（而非長度）才是自然的量度。
在座標為 (q, p) 的 R^2 上取 omega = dp ^ dq。對兩個向量 v = (a, b) 與 w = (c, d)，omega(v, w) = ad - bc，這恰好是它們所張成的平行四邊形的有號面積。它是非退化的（只有零向量才與所有東西配對成零）且是閉的（因 omega 係數為常數故 d omega = 0），所以 (R^2, dp ^ dq) 是最簡單的辛流形——單個一維粒子的相平面。
相平面 (R^2, dp ^ dq)：omega 量的是平行四邊形的有號面積，而非長度。
並非每個偶維流形都是辛的。在閉流形上，[omega] 必須是 H^2(M; R) 中的非零類且 [omega]^n 不為零，這已排除了如 S^4 以及 n > 1 的 S^{2n}。辛結構的存在是貨真價實的拓樸約束，儘管沒有局部障礙。