哈密頓向量場（Hamiltonian vector field）
取相空間上的一個能量函數 H——比如把擺的總能量寫成角度與動量的函數。系統實際上如何運動？在普通微積分裡，函數的梯度指向「上坡」，沿著它走會使函數增大。在辛流形上有一個梯度的扭曲表親：它不沿上坡流，而是沿著等位面流，保持 H 不變。那個扭曲的梯度就是哈密頓向量場，沿著它走時間 t 恰好就是能量為 H 的力學系統的運動。
精確地說，給定辛流形 (M, omega) 上的光滑函數 H——哈密頓量——其哈密頓向量場 X_H 是由方程 iota_{X_H} omega = dH（即 omega(X_H, .) = dH(.)）唯一確定的向量場。omega 的非退化正是使 X_H 存在且唯一的原因（你可以「反轉」omega，把 1-形式 dH 變成向量場）。在達布座標 (q, p)、omega = sum dp_i ^ dq_i 下，這展開為哈密頓方程：dq_i/dt = partial H / partial p_i 與 dp_i/dt = -partial H / partial q_i。X_H 的流就是系統的時間演化，而它自動是一族辛同胚。
兩個事實使 X_H 特殊且值得分清。第一，能量沿運動守恆：由反對稱性 X_H(H) = dH(X_H) = omega(X_H, X_H) = 0，故 H 在每條軌跡上為常數——這就是能量守恆，直接從定義掉出來。第二，X_H 是比辛向量場更強的概念。向量場 X 是辛的，若其流保持 omega，即李導數 L_X omega = 0，等價地 iota_X omega 為閉；它是哈密頓的，若 iota_X omega 為恰當（= dH，其中 H 整體定義）。在單連通流形上兩者一致，但一般而言其鴻溝由 H^1(M; R) 衡量。
諧振子在 (R^2, dp ^ dq) 上有 H = (1/2)(q^2 + p^2)。則 iota_{X_H} omega = dH 給出 X_H = p partial/partial q - q partial/partial p，哈密頓方程為 dq/dt = p、dp/dt = -q。軌跡是圓 q^2 + p^2 = const——即 H 的等位面——以單位角速順時針繞行。能量 H 在每個圓上為常數，恰如 X_H(H) = 0 所預測。
振子的 X_H 沿 H 的等位面循環；能量自動守恆。
別把 X_H 與度量梯度混為一談：度量梯度垂直於等位面流動（使 H 變化最快），而 X_H 平行於等位面流動（保持 H 不變）。且對向量場而言，除非 H^1(M; R) = 0，否則「哈密頓」嚴格強於「辛」。