內積（interior product）／縮並
內積是把一個向量場插進微分形式第一個槽位的運算。若 k-形式是個等著吃 k 個向量的東西，那麼先餵它一個向量場 X，就剩下一個還在等其餘向量的 (k-1)-形式。它把次數降低一，與外微分所做的相反。直觀上它把形式對著一個流動方向「縮並」。
精確地說，對向量場 X 與 k-形式 omega，內積 iota_X omega（也寫作 i_X omega，或 X 縮並進 omega）是由 (iota_X omega)(v_1, ..., v_{k-1}) = omega(X, v_1, ..., v_{k-1}) 定義的 (k-1)-形式。在 0-形式（函數）上給出零。它是次數 -1 的反導子：iota_X(alpha ^ beta) = (iota_X alpha) ^ beta + (-1)^{deg alpha} alpha ^ (iota_X beta)，且平方為零，iota_X iota_X = 0。它在槽位 X 上對函數是線性的，這與 d 不同。在座標下，iota_{partial/partial x^j} 就是把它找到的任何 dx^j 刪去，並依把它移到最前面所需的符號帶上正負號。
內積是與 d、李導數並列、被卡坦魔法公式 L_X = d iota_X + iota_X d 綁在一起的三人組的第三位成員。它是你把最高次體積形式變成通量形式的方式（把體積形式對一個向量場縮並，得到的形式在邊界上的積分計算出通量，正是散度定理的幾何內容），且在辛幾何中不可或缺，那裡 iota_X omega = dH 定義了哈密頓向量場。關於名稱的一點提醒：「內積（interior product）」與內積／點積（inner product）毫無關係——不涉及任何度量；名稱不幸的撞名純屬歷史因素。
在 R^3 上取體積形式 mu = dx ^ dy ^ dz 與向量場 X = (P, Q, R) = P partial_x + Q partial_y + R partial_z。則 iota_X mu = P dy^dz - Q dx^dz + R dx^dy = P dy^dz + Q dz^dx + R dx^dy，這恰好是向量場 X 的通量 2-形式。對它應用斯托克斯定理就是散度定理。而 iota_{partial_x}(dx^dy) = dy，至於 iota_{partial_y}(dx^dy) = -dx（符號來自把 dy 滑過 dx）。
把體積形式對向量場縮並，得到它的通量形式——這正是散度定理成為斯托克斯定理特例的機制。
內積（interior product）不是內積（inner product）；它吃進一個向量與一個形式，而非兩個向量，且不需要度量。此外它對向量自變數是 C-infinity 線性的（不像 d 只是 R-線性），故對任意函數 f 有 iota_{fX} omega = f iota_X omega——這是個好用的檢驗。