廣義斯托克斯定理（generalized Stokes' theorem）
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斯托克斯定理是一條把微積分幾乎每一個積分定理統一成單一句話的定律：導數在一個區域上的積分，等於原物在該區域邊界上的積分。微積分基本定理、格林定理、散度（高斯）定理與古典斯托克斯（旋度）定理，全都是這同一個陳述，只是在不同維數與次數下閱讀。這正是微分形式被發明的理由。
精確地說：設 M 是一個有向光滑 n 維帶邊流形，邊界 partial M（賦予誘導定向），並設 omega 是 M 上一個光滑、緊支撐的 (n-1)-形式。則 d omega 在 M 上的積分等於 omega（限制／拉回到邊界）在 partial M 上的積分。以符號寫：integral over M of d omega = integral over partial M of omega。左邊的外微分變成右邊的取邊界運算——裡面的微分與外面的取邊界相配對。當 partial M 為空（M 是閉的），右邊為零，故任何恰當最高次形式在閉流形上的積分消失——這個事實有深刻的上同調後果。
它的威力在於統一與抽象。取 n = 1、M = [a, b]：它是微積分基本定理，f' 的積分等於 f(b) - f(a)。取平面上 n = 2：它是格林定理。取 n = 3 以散度讀法：它是高斯定理；以曲面上的旋度讀法：它是古典斯托克斯。關鍵地它也是德拉姆上同調的引擎：把閉形式與閉鏈配對之所以有良好定義，正是因為斯托克斯（把形式改變一個恰當部分、或把閉鏈改變一個邊界，都使積分改變零）。一個提醒：定向必須符合誘導邊界的約定，否則符號會出錯；且需要緊支撐（或 M 緊緻）以使積分收斂。
把格林定理當作斯托克斯：在以邊界曲線 partial M 為界的平面區域 M 上，取 omega = P dx + Q dy。則 d omega = (Q_x - P_y) dx^dy，斯托克斯說 (Q_x - P_y) dx dy 在 M 上的積分等於 P dx + Q dy 在 partial M 上的積分。令 P = 0、Q = x，得 M 的面積等於 x dy 繞其邊界的線積分——求積儀只靠描邊界就算出面積，這正是斯托克斯定理的實際運作。
一條公式，d omega 在 M 上的積分等於 omega 在 partial M 上的積分，囊括了基本定理、格林、高斯與古典斯托克斯。
斯托克斯定理是 d（代數）與 partial（幾何）之間精確的對偶：d omega 在 M 上的積分等於 omega 在 partial M 上的積分，正是「d 與取邊界對偶」這個伴隨關係。把 partial M 上的誘導定向弄對，否則每個符號都會錯；向外法向量優先是標準約定。