向量場的李括號（Lie bracket）
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若兩個向量場是兩陣風，你或許會問：我跟隨它們的順序重要嗎？先沿 X 流一刻再沿 Y，相對於先 Y 再 X——我會到達同一個地方嗎？李括號 [X, Y] 正是這個不可交換性的精確量度。它是第三個向量場，記錄兩條路線之間的無窮小差異，且恰當兩個流能以任意順序進行時消失。
最乾淨的定義把向量場當作光滑函數上的微分算子：X 透過方向微分 Xf 作用於 f。於是李括號是交換子 [X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)。一個小小的奇蹟是這個差——天真地看涉及二階導數——其實是一階算子（二階導數因混合偏導相等而消去）——故 [X, Y] 又是個名正言順的向量場。在座標中，設 X = sum X^i partial_i 與 Y = sum Y^j partial_j，第 k 個分量為 [X, Y]^k = sum_i (X^i partial_i Y^k - Y^i partial_i X^k)。幾何上，[X, Y] 在 p 處是兩個流之交換子的領頭階位移：沿 X 流時間 sqrt(t)，再 Y，再退回 X，再退回 Y，淨移動是 t[X, Y] 加上高階項。
李括號使 M 上的向量場成為一個（無窮維）李代數：它雙線性、反對稱 [X, Y] = -[Y, X]，並滿足雅可比恆等式。它是李理論的種子（在李群上左不變場在括號下封閉，給出有限維李代數），也是弗羅貝尼烏斯定理背後的算子。兩個流交換，theta^X_s 與 theta^Y_t 合成 = theta^Y_t 與 theta^X_s 合成，若且唯若 [X, Y] = 0；那個等價正是李括號重要的全部原因。注意李括號在通常意義下並非 C^infinity-雙線性——[X, fY] = f[X, Y] + (Xf)Y 會多出一個導數項，故它不是張量性的。
在 R^2 上取 X = partial_x 與 Y = x partial_y。則 [X, Y] = partial_x(x) partial_y = partial_y，非零。因此先向右流再向上錯切不等於先向上錯切再向右流——括號 partial_y 恰是它們的無窮小差異。
非零的括號意味兩個流不交換。
李括號不是張量性的：[X, fY] 多出一項 (Xf)Y，故它在 p 處的值依賴於 X 與 Y 在 p 附近，而非僅在 p 處。座標場 partial_i 永遠交換，[partial_i, partial_j] = 0。