左不變向量場（left-invariant vector field）
在李群上，每一點看起來都和單位元一樣，因為左乘能把單位元滑到任何地方。於是單位元處的一個切向量，可以用典範方式「鋪展」到整個群上：在每一點 g，放上把單位元處的向量經左平移滑到 g 所得的向量。其結果是一個被群自身的左乘永遠不擾動的向量場——即左不變向量場。
精確地說，對李群 G，令 L_g(x) = g*x 為左平移，這是微分同胚，其微分 (L_g)_* 在切空間之間映射。G 上的向量場 X 稱為左不變的，若對每個 g 有 (L_g)_* X = X，意即 X 在點 g*h 處等於 X 在 h 處經 (L_g)_* 的推前。這樣的 X 完全由其在單位元的值決定：給定任意 v in T_e G，令 X_g = (L_g)_* v。這給出左不變向量場與切空間 T_e G 之間的向量空間同構。決定性的事實是：兩個左不變場的李括號 [X, Y] 仍是左不變的——括號保持不變性——因此左不變場在 [.,.] 下構成有限維李代數，並經由該同構把此括號落到 T_e G 上。該代數即 G 的李代數 g。
左不變場正是李代數從李群誕生的方式：它們把全域且或許複雜的群，轉化為「一個切空間配上一個括號」這種線性代數資料。它們還自動完備（其流對所有時間都存在，且時間 1 的流即指數映射）。一個小提醒：同樣可用右平移得到右不變場與同一抽象李代數的另一個拷貝；採左約定只是一種選擇。而左不變場一般在右平移下並不變，也不必是某選定度量的基靈場，除非該度量本身也是左不變的。
在加法群 R 上，左不變場就是常向量場 c d/dx：平移 x |-> a + x 把 d/dx 原封不動地搬走。在 GL(n) 上，可把 T_e GL(n) 等同於全體矩陣的空間；對矩陣 A，左不變場為 X_g = g*A（矩陣乘積），而附於 A 與 B 的兩個場的括號，即附於矩陣交換子 A*B - B*A 的場。
在 GL(n) 上，左不變括號即矩陣交換子 [A, B] = AB - BA。
左不變是「選邊」；右不變場給出同構但不同的拷貝。除非群是阿貝爾的，左不變場一般並非右不變。