切叢（tangent bundle）

在光滑流形 M 的每一點 p 處有一個切空間 T_p M——通過 p 的曲線速度向量所成的線性空間，是你對 M 在 p 附近最好的線性模型。切叢 TM 就是把所有這些切空間（每點一個）收集起來，組裝成單一一個新的光滑流形所得之物。它把「每點處的一個方向」打包成一個你能在其上做幾何的物件。

作為集合，TM 是所有 p in M 上切空間 T_p M 的不交並；TM 的一個點是一對 (p, v)，其中 v 是 p 處的切向量。投影 pi: TM -> M 把 (p, v) 送到 p，每條纖維 pi^{-1}(p) 是 n 維向量空間 T_p M。TM 上的光滑結構來自 M 的座標卡：座標卡 (U, x^1, ..., x^n) 賦予每個鄰近切向量座標 (x^1, ..., x^n, v^1, ..., v^n)，其中 v 等於 v^i 乘以對 x^i 的偏導之和。轉移映射把速度分量乘上底轉移映射的雅可比矩陣，那是光滑的——所以 TM 是 2n 維光滑流形，事實上是 M 上秩為 n 的向量叢。

這個構造的要點是向量場成為了名正言順的幾何物件：向量場就是 TM 的光滑截面，亦即光滑映射 X: M -> TM 使 pi 與 X 合成為恆等，以光滑變化的方式在每點選一個切向量。TM 是否平凡——作為叢與 M 乘 R^n 微分同胚——是個深刻的問題：對圓以及任何李群它都平凡，但毛球定理說 TS^2 不平凡，因為 S^2 不容許處處非零的向量場。因此 TM 的全域扭曲已經編碼了 M 真實的拓樸。