李代數（Lie algebra）
/ lee AL-juh-bruh /
若李群是全部對稱的空間，那麼它的李代數就是無窮小對稱的空間——通過單位元的運動之速度。想像從「什麼都不做」出發開始運動：每一種可能運動的瞬時方向都住在同一個向量空間裡。令人驚訝的是，這個線性空間記住了群的對稱如何不可交換，並打包成一個稱為括號的反對稱積。在單位元處把群線性化會丟掉「大小」，卻保留本質的代數。
抽象地說，某域上的李代數是一個向量空間 g，配上一個雙線性映射 [.,.]: g x g -> g（括號），它反對稱，[X, Y] = -[Y, X]，並滿足雅可比恆等式 [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0。雅可比恆等式是群中結合律的無窮小投影。典範例子是全體 n x n 矩陣配上交換子括號 [A, B] = AB - BA；直接計算即可驗證反對稱與雅可比。對李群 G，其對應李代數 g 是單位元處的切空間 T_e G，括號承自左不變向量場（對矩陣群等價於矩陣交換子）。例子：SO(3) 的李代數是反對稱 3 x 3 矩陣之空間，配上交換子括號——等價於配上外積的 R^3；U(n) 的李代數是斜埃爾米特矩陣。
李代數之所以重要，在於它線性且有限維，因而易於處理，卻又掌握了群幾乎全部的局部結構：連通、單連通的群在同構意義下由其李代數決定（李定理）。經由根系對半單李代數的分類，是二十世紀數學的勝利之一。誠實的提醒：李代數是局部對象。它看不見全域拓樸——SO(3) 與其二重覆蓋 SU(2) 有同構的李代數（so(3) ~ su(2)）卻是不同的群；而像 O(n) 這種不連通群，與其單位分量 SO(n) 共享同一李代數。
so(3) ~ 配外積的 R^3：把反對稱矩陣等同於它所代表的向量（如 v x w 中那樣）。則兩個這種矩陣的交換子恰對應於兩向量的外積。括號的雅可比恆等式正是熟悉的等式 a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0。
李代數 so(3) 就是配外積的 R^3——雅可比恆等式即向量三重積恆等式。
李代數是局部的：它無法區分單位分量相同、或僅差一個覆蓋的群。so(3) ~ su(2)，然而 SO(3) 與 SU(2) 並非同構的群。