弗羅貝尼烏斯可積定理（Frobenius integrability theorem）
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想像在流形的每一點你被遞給一個 k 維的允許方向小平面——一個切 k-平面場，稱為分佈。問題是你能否把這些平面編織成處處與它們相切的曲面，彷彿組裝一塊布料，其紗線處處指向規定的平面。弗羅貝尼烏斯定理恰好說明何時這辦得到，而答案是一個乾淨的括號條件。
秩 k 的分佈 D 為每點 p 指派 T_p M 的一個 k 維子空間 D_p，光滑變化。積分流形是一個浸入 k-子流形，其在每點的切空間恰是 D_p。若分佈在李括號下封閉則稱為對合的：每當向量場 X 與 Y 落在 D 中（故處處 X(p), Y(p) in D_p），括號 [X, Y] 也落在 D 中。弗羅貝尼烏斯定理斷言 D 可積——通過每點有一個積分流形，且局部上流形被它們葉層化為一疊座標切片——若且唯若 D 對合。在配適座標中葉子成為切片 x^{k+1} = 常數, ..., x^n = 常數。
為何是括號條件？因為兩個切場的括號量度它們的流不可交換的程度，而若你能待在與 D 相切的曲面內，這類交換子便永遠不會把你推出去——故對合性恰是那個障礙的消失。這是可積性的幾何核心，也是它推廣超定一階偏微分方程組解的存在性的原因。誠實的提醒：對合性並非自動——一般的分佈不可積。R^3 上的標準接觸分佈 ker(dz - y dx) 極大地不可積；沒有曲面與它相切，正因為相關的括號處處橫截於那些平面。
在 R^3 上由 X = partial_x 與 Y = partial_y 張成的分佈是對合的：[X, Y] = 0 平凡地落在張成空間中，其積分流形是水平平面 z = 常數。相對地，partial_x 與 partial_y + x partial_z 的張成其括號為 partial_z，逃出了分佈，故它沒有積分曲面。
對合的分佈積分為葉子；一個逸出的括號則禁止它們。
對合性必須對張成分佈的所有場對檢查，但檢查一個局部標架便足夠。大多數分佈不可積；可積是特殊而非一般的情形。