卡坦魔法公式（Cartan's magic formula）
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卡坦魔法公式是一條簡短的等式，把微分形式上的三個基本運算綁在一起：外微分 d（提升次數）、內積 iota_X（藉與向量場 X 縮並而降低次數），以及李導數 L_X（量度形式沿 X 流動時如何變化）。所謂「魔法」在於：李導數——一個動態的、基於流的概念——竟純粹由代數運算 d 與 iota_X 重新搭建出來。
公式為 L_X = d iota_X + iota_X d，常寫成 L_X = d circ iota_X + iota_X circ d，對每個次數的形式都成立。可這樣讀它：要看 omega 沿 X 的流如何變化，就先縮並再微分、加上先微分再縮並。此處 L_X omega 定義為 omega 被 X 的流拉回後在時刻零的導數，捕捉了把 omega 沿 X 拖曳的無窮小效應。這公式讓你能以純代數計算形式的李導數，永不需要明確構造出流。立刻可得的推論是：L_X 與 d 可交換（因為 d L_X = d iota_X d = L_X d），而在函數 f 上它化為 L_X f = iota_X df = df(X) = X(f)，即方向導數。
它的威力既是概念性的也是計算性的。它是龐加萊引理背後的引擎（證明閉蘊含局部恰當的那個同倫算子正是由 iota_X 造出），是辛幾何中 Moser 技巧背後的引擎（沿流形變形式），也是無數不變性論證背後的依據：若 L_X omega = 0 則 omega 被 X 的流保持，這是一條守恆律。一個常見的混淆：此公式是精確的、不需要任何近似——它是恆等式，而非一階展開。並且它成立於形式的李導數；向量場 Y 的李導數是括號 [X, Y]，是個不同雖相關的故事。
在 R^2 上取 omega = x dy 與 X = partial_x。則 iota_X omega = iota_X(x dy) = 0（沒有 dx 可刪），故 d iota_X omega = 0。而 d omega = dx ^ dy，所以 iota_X d omega = iota_{partial_x}(dx^dy) = dy。相加：L_X omega = 0 + dy = dy。直接驗證：partial_x 的流是 (x, y) -> (x + t, y)，把 x dy 拉回成 (x + t) dy，其在 t = 0 的 t-導數為 dy。代數與流相符。
卡坦公式以兩個代數步驟計算形式的李導數，與流的計算完全吻合。
有時稱為卡坦同倫公式，因為 d iota_X + iota_X d 是鏈同倫的原型。別把形式的李導數 L_X 與協變導數 nabla_X 搞混：L_X 不需要聯絡（它用流），而 nabla_X 需要。兩者一般並不相同。