劉維爾定理（Liouville's theorem，相空間體積）
/ LYOO-vil /
想像一群相同的力學系統，從相空間中一小團相鄰狀態出發，讓它們全部演化。隨著時間流逝，這團會拉伸、扭曲、折疊成狂野的形狀。劉維爾定理說有一件事牢不可破：這團的總體積永不改變。哈密頓動力學可任意扭曲相空間，卻永遠無法壓縮或膨脹它——相空間流是不可壓縮的，就像理想流體。
精確地說，在 2n 維辛流形 (M, omega) 上有一個典範體積形式，劉維爾體積 omega^n / n!。劉維爾定理陳述：任何哈密頓向量場 X_H 的流都保持此體積：時間 t 映射是保體積的。最乾淨的證明用卡坦魔法公式一行搞定——李導數 L_{X_H} omega = d(iota_{X_H} omega) + iota_{X_H}(d omega) = d(dH) + 0 = 0——故流保持 omega，因而保持 omega^n，因而保持體積。第一項為零用了 dH 為恰當，第二項用了 d omega = 0。等價地，在達布座標下哈密頓向量場散度為零：sum (partial/partial q_i)(partial H/partial p_i) + (partial/partial p_i)(-partial H/partial q_i) = 0。
它的影響力極大。它是統計力學的奠基事實（微正則測度不變，所以「等體積等機率」與動力學相容）、它支撐龐加萊回歸定理（有限體積系統必任意接近地回到起點）、它解釋了為何在弗拉索夫與波茲曼圖像中相空間密度表現得像不可壓縮流體。一個微妙而重要的提醒：劉維爾說哈密頓流保體積，但在 2n > 2 維中逆命題為假——保體積遠弱於辛，而格羅莫夫不擠壓表明辛映射服從單憑體積看不見的約束。
對諧振子，流剛性地旋轉相平面 (R^2, dp ^ dq)：一個狀態圓盤變成一個全等的旋轉圓盤，顯然保持面積。一個更有啟發的情形是自由粒子 H = p^2/2，它剪切相空間——當 q 按比例於 p 向前漂移時，方形團變成傾斜的平行四邊形，面積相同。形狀劇烈扭曲，但面積保持固定，恰如劉維爾所保證。
自由粒子的流把一團剪切成等面積的傾斜形狀——不可壓縮性的實例。
當 2n > 2 時，保體積是映射為辛的必要而非充分條件。逆命題的失效正是辛剛性的全部重點：格羅莫夫的球無法被擠進體積更大的細圓柱，儘管單憑體積會允許。