微分同胚（diffeomorphism）

若同胚是拓樸學中「同樣形狀」的恰當概念——一個有連續還原的連續形變——那麼微分同胚便是「同樣光滑形狀」的恰當概念。它是光滑流形之間的雙射，本身光滑且具光滑逆。由它相連的兩個流形在微分拓樸的任何構造下都無法區分：切空間、向量場、積分曲線等等都能來回轉移。

精確地說，f: M -> N 是微分同胚，若 f 是光滑雙射且 f^{-1} 亦光滑。光是 f 光滑並不足夠：從 R 到 R 的映射 t -> t^3 是光滑雙射，但其逆 t -> t^{1/3} 在 0 處不可微，故它是同胚而非微分同胚。由反函數定理，光滑的 f 在 p 附近是局部微分同胚，恰當其推前 df_p 是切空間的線性同構；要成為全域微分同胚還額外要求 f 為雙射。

微分同胚是光滑流形範疇的同構，故「在微分同胚意義下分類流形」是這個領域的基本問題。其中的微妙之處，也是奇異球面著名的原因，是同胚的流形未必微分同胚：S^7 有 28 種光滑結構，全都與標準球面同胚卻兩兩不微分同胚，而 R^4 容許不可數多種光滑結構，沒有任何兩個微分同胚。因此「相同拓樸型」與「相同光滑型」確實是不同的等價關係。