形式的拉回（pullback of a form）
假設你有一個從流形 M 到另一個流形 N 的光滑映射 f，以及一個住在目標 N 上的微分形式 omega。拉回 f^*omega 就是你把那個形式倒拉回 M 的方式——你用 omega 在 N 上量度事物，卻把答案讀在 M 這一邊。這名字很貼切：形式的流向與映射相反。正是這個運算使形式成為代換與換變數的自然語言。
具體地說，對光滑映射 f: M -> N 與 N 上的 k-形式 omega，拉回 (f^*omega)_p 對 M 中一點 p 處的切向量 v_1, ..., v_k 的作用為：先用微分 df_p 把它們推前，再用 omega 求值：(f^*omega)_p(v_1, ..., v_k) = omega_{f(p)}(df_p v_1, ..., df_p v_k)。對函數（0-形式）g，f^*g = g 與 f 的合成。拉回是線性的，與楔積可交換（f^*(alpha^beta) = f^*alpha ^ f^*beta），且關鍵地與外微分可交換：f^*(d omega) = d(f^*omega)。在座標下你就是直接代入：若 y = f(x)，把每個 y^j 換成它的公式、把每個 dy^j 換成 d(f^j) = sum (partial f^j / partial x^i) dx^i。
拉回無處不在。它正是積分的換變數法則（雅可比經由楔積自動出現），是你把形式限制到子流形的方式；又因為 f^* 與 d 可交換，它下降為上同調上的映射 f^*: H^k_dR(N) -> H^k_dR(M)，這是同倫不變性與函子性的基礎。一個要記住的關鍵不對稱性：形式沿任意光滑映射都能拉回，但向量場一般不能推前，除非 f 是微分同胚。正是這種反變性使形式比向量場靈活得多。
極座標：f(r, theta) = (r cos theta, r sin theta) 把 (r, theta)-平面映到 (x, y)-平面。拉回面積形式 dx ^ dy：代入 dx = cos theta dr - r sin theta d theta、dy = sin theta dr + r cos theta d theta，做楔積，dr ^ d theta 中的交叉項給出 f^*(dx^dy) = r dr ^ d theta。因子 r 恰好是雅可比——換變數公式自動從楔積掉出來。
把面積形式經極座標拉回，自動產生「r dr d theta」中的那個 r；拉回就是換變數。
因為 f^* 與 d 可交換，它把閉形式送到閉形式、恰當送到恰當，故能作用在上同調上——但只對光滑映射如此；僅僅連續的映射需要德拉姆定理才能作用在德拉姆上同調上。此外，拉回會使形式塌縮：把一個非最高次形式沿映到較低維流形的映射拉回，可能變為零。